Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，且BC=$\frac{1}{2}$AD=1，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设$\frac{PM}{MC}$=k（M与C不重合）
（Ⅰ）求证：CD⊥DP；
（Ⅱ）若PA∥平面BME，求k的值；
（Ⅲ）若二面角M-BE-A的平面角为150°，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥DP．…..（5分）
（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN，推导出PA∥MN，从而∠CBN=∠AEN=90°，进而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．
（Ⅲ）法一：连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG，则∠MGF为二面角M-BE-C的平面角，由此能示出k．
法二：以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出k．

解答 （本题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．
又CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．
由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．
双DP?平面PAD，所以CD⊥DP．…..（5分）
解：（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN．
因为PA∥平面BME，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．
因为 AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．
又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．
所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1．…..（9分）

（Ⅲ）方法一：
依题意，若二面角M-BE-A的大小为150°，则二面角M-BE-C的大小为30°．
连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG．
因为PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．
又BE?平面ABCD，所以MF⊥BE．
又MF∩FG=F，MF?平面MFG，FG?平面MFG，
所以BE⊥平面MFG，从而BE⊥MG．
则∠MGF为二面角M-BE-C的平面角，即∠MGF=30°．
在等边△PAD中，$PE=\sqrt{3}$．由于$\frac{MF}{PE}=\frac{CM}{PC}=\frac{1}{1+k}$，所以$MF=\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}$．又$\frac{FG}{BC}=\frac{EG}{BE}$，所以$FG=\frac{k}{1+k}$．
在△MFG中，$tan∠MGF=\frac{MF}{FG}$
解得k=3．…..（14分）
方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E为原点，
射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，
如图．∵$BC=\frac{1}{2}AD=1$，∠BAD=60°，
∴A（0，1，0），$B（\sqrt{3}，0，0）$，$C（\sqrt{3}，-1，0）$，D（0，-1，0），E（0，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$
平面ABE即xoy平面的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
设M（x，y，z），由条件$\frac{PM}{MC}=k$可知：$\overrightarrow{PM}=k\overrightarrow{MC}$（k＞0），
即$（x，y，z-\sqrt{3}）=k（\sqrt{3}-x，-1-y，-z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=k（\sqrt{3}-x）\\ y=k（-1-y）\\ z-\sqrt{3}=-kz\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}k}}{1+k}\\ y=-\frac{k}{1+k}\\ z=\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}\end{array}\right.$
即$\overrightarrow{EM}=（\frac{{\sqrt{3}k}}{1+k}，\frac{-k}{1+k}，\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}）$，$\overrightarrow{EB}=（\sqrt{3}，0，0）$．
设平面MBE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x'，y'，z'），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\frac{\sqrt{3}k}{1+k}{x}^{'}+\frac{-k}{1+k}{y}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{1+k}{z}^{'}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}{x}^{'}=0}\end{array}\right.$，x'=0，令$y'=\sqrt{3}$，则z'=k．即$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}，k$）．
因为二面角M-BE-A的平面角为150°，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|cos150°|，即$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|k|}{\sqrt{3+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得k=±3．
因为k＞0，所以k=3．…..（14分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．