Question

18．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为正方形，BB₁C₁C为菱形，∠BB₁C₁=60°，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁，推导出AB⊥BB₁，从而AB⊥平面BB₁C₁C，进而AB⊥B₁C，再由BC₁⊥B₁C，得到B₁C⊥平面ABC₁，由此能证明B₁C⊥AC₁．
（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以BA，BB₁所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角B-AC₁-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接BC₁．在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁．
因为 平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，AB?平面ABB₁A₁，
所以 AB⊥平面BB₁C₁C．…（1分）
因为 B₁C?平面BB₁C₁C，
所以 AB⊥B₁C．…（2分）
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C．…（3分）
因为 BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，BC₁∩AB=B，
所以 B₁C⊥平面ABC₁．…4分
因为 AC₁?平面ABC₁，B₁C⊥AC₁．…（5分）
解：（Ⅱ）在平面BB₁C₁C内过点B作Bz⊥BB₁．
由（Ⅰ）可知：AB⊥平面BB₁C₁C．以点B为坐标原点，分别以BA，BB₁所在的直线为x，y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，…（6分）
设A（2，0，0），则B₁（0，2，0）．在菱形BB₁C₁C中，∠BB₁C₁=60°，
所以 $C（0，-1，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，1，\sqrt{3}）$．…（7分）
设平面ACC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，1）．
因为$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}（x，y，1）•（-2，-1，\sqrt{3}）=0\\（x，y，1）•（0，2，0）=0\end{array}\right.$…（8分）
所以 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ y=0\end{array}\right.$，即 $\overrightarrow{n}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0$，1）…（9分）
由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{C{B_1}}$是平面ABC₁的一个法向量，且$\overrightarrow{C{B_1}}$=$（0，3，-\sqrt{3}）$…（10分）
所以 $cos＜n，\overrightarrow{C{B_1}}＞=\frac{{n•\overrightarrow{C{B_1}}}}{{|n|•|{\overrightarrow{C{B_1}}}|}}=\frac{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，1）•（0，3，-\sqrt{3}）}}{{\sqrt{\frac{3}{4}+1}•\sqrt{9+3}}}=-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（11分）
所以 二面角B-AC₁-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．