如图①.在△ABC中.已知AB=15.BC=14.CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A-BCD.使得图②中的BC=11．(1)求二面角B-AD-C的平面角的余弦值,(2)在四面体A-BCD的棱AD上是否存在点P.使得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=0?若存在.请指出点P的位置,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A-BCD，使得图②中的BC=11．
（1）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值；
（2）在四面体A-BCD的棱AD上是否存在点P，使得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．

分析（1）根据图象折之前和折之后的边长关系，结合二面角的定义进行求解．
（2）假设在四面体A-BCD的棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解．

解答解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，
故二面角B-AD-C的平面角为∠BDC，
在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14-x，
在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x²+h²=15²，（14-x）²+h²=13²，
得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，
在图②的△BCD中，由余弦定理得BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC，
即11²=9²+5²-2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=-$\frac{1}{6}$，
即二面角B-AD-C的平面角的余弦值是-$\frac{1}{6}$．
（2）假设在四面体A-BCD的棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，
则0=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$²+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{PD}$²+0+0+9×5×（-$\frac{1}{6}$）=$\overrightarrow{PD}$²-$\frac{15}{2}$，
则|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$＜12，符号题意，
即在棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，此时|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．

点评本题主要考查二面角的计算以及向量数量积的应用，考查学生的运算和推理能力．

练习册系列答案

寒假Happy假日系列答案

寒假成长乐园系列答案

寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

18．

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为正方形，BB₁C₁C为菱形，∠BB₁C₁=60°，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

19．

如图，三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4，AC=4$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}，∠ACB={45°}$，E，F分别为AC，DC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

16．

如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；
（Ⅱ）若$BC=\sqrt{2}$，$BF=2\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\frac{8-π}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

13．已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．
（1）求证：f（x）≤f（x₀）+f′（x₀）（x-x₀）；（x₀∈R）
（2）设${λ_i}∈{R^+}（i=1，2，3，…$n），且λ₁+λ₂+…+λ_n=1，x_i∈R（i=1，…，n）（n∈N₊）
求证：λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）
（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

20．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（　　