Question

16．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；
（Ⅱ）若$BC=\sqrt{2}$，$BF=2\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；
（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB²，求出AC，即可求△ABC的面积．

解答 证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，
又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…（2分）
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{AC}{CE}$，∴AC•CB=CD•CE
又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（5分）
（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．
∴在△ABF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}∠FAB=∠FBC\\∠AFB=∠CFB\end{array}\right.$，∴△ABF～△BCF，
∴$\frac{FB}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=2$，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…（7分）
设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB²
∴x•2x=8，∴x=2，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和切割线定理等知识点，属于中档题．