Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=4，AB=3，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求二面角A-BC₁-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：由AA₁⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC₁A₁，从而A₁C⊥AB，又A₁C⊥AC₁，由此能证明A₁C⊥平面ABC₁．
法二：以A为原点，以AC、AB、AA₁所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）求出平面A₁BC₁的法向量和平面ABC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC₁-A₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA₁⊥AB，又AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，…（2分）
∴A₁C⊥AB，又AC=AA₁=4，∴A₁C⊥AC₁，…（4分）
∵AC₁∩AB=A，∴A₁C⊥平面ABC₁；                            …（5分）
证法二：由已知条件可得AA₁、AB、AC两两互相垂直，
因此以A为原点，以AC、AB、AA₁所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，…（1分）
则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A₁（0，0，4），C₁（4，0，4），
∴$\overrightarrow{{A_1}C}=（4，0，-4）$，$\overrightarrow{AB}=（0，3，0）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（4，0，4）$，…（3分）
∵$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{AB}=（4，0，-4）•（0，3，0）=0$，
且$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{A{C_1}}=（4，0，-4）•（4，0，4）=0$，…（4分）
∴$\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{A{C_1}}$，
∴A₁C⊥平面ABC₁；  …（6分）
解：（Ⅱ）∵$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（4，0，0）$，$\overrightarrow{B{A_1}}=（0，-3，4）$，
设$\overrightarrow m=（x，y，z）⊥$平面A₁BC₁，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{B{A_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}4x=0\\-3y+4z=0\end{array}\right.$，取y=4，得$\overrightarrow m=（0，4，3）$；  …（8分）
由（Ⅰ）知，$\overrightarrow{{A_1}C}=（4，0，-4）$为平面ABC₁的法向量，…（9分）
设二面角A-BC₁-A₁的大小为θ，由题意可知θ为锐角，
∴$cosθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{{A_1}C}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}C}}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow{{A_1}C}}|}}=\frac{12}{{5×4\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$． …（11分）
即二面角A-BC₁-A₁的余弦值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$． …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．