Question

19．如图，三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4，AC=4$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}，∠ACB={45°}$，E，F分别为AC，DC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）建立空间坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求二面角E-BF-C的正弦值．或者根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解．

解答 （ I）证明　由BC=4，$AC=4\sqrt{2}$，∠ACB=45°，
则$AB=\sqrt{{4^2}+{{（{4\sqrt{2}}）}^2}-2•4•4\sqrt{2}cos45°}=4$，
显然，AC²=AB²+BC²，所以∠ABC=90°，即AB⊥BC．…（2分）
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB?平面ABC，
所以AB⊥平面BCD，…（3分）
又AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD． …（4分）
（Ⅱ）（方法一）由BC=BD，F分别为DC的中点，
知BF⊥DC，由CD=$4\sqrt{3}$，知$CF=2\sqrt{3}$，知$sin∠FBC=\frac{{2\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以∠FBC=60°，则∠DBC=120°，…（6分）
如图，以点B为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为x轴，以BC为y轴，以BA为z轴建立空间坐标系；
则B（0，0，0），A（0，0，4），C（0，4，0），E（0，2，2），$D（{2\sqrt{3}，-2，0}）$，$F（{\sqrt{3}，1，0}）$，
所以$\overrightarrow{BE}=（{0，2，2}）$，$\overrightarrow{BF}=（\sqrt{3}，1，0）$． …（8分）
显然平面CBF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），…（9分）
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
得其中一个$\overrightarrow{n}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，-1，1），…（10分）
设二面角E-BF-C的大小为θ，则|cosθ|=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
因此sin θ=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，即二面角E-BF-C的正弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）
（方法二）
连接BF，由BC=BD，F分别为DC的中点，知BF⊥DC，…（5分）
如图，在平面ABC内，过E作EG⊥BC，垂足为G，则G是BC的中点，且EG⊥平面BCD．
在平面DBC内，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接EH．

由EG⊥平面BCD，知EG⊥BF，又EH⊥BF，EG∩EH=E，EG，EH?平面EHG，
所以BF⊥平面EHG，所以∠EHG是二面角E-BF-C的平面角．…（8分）
由GH⊥BF，BF⊥DC，则GH∥FC，
则EG是△ABC的中位线，所以EG=$\frac{1}{2}AB=2$，…（10分）
易知HG是△BFC的中位线，所以HG=$\frac{1}{2}FC=\sqrt{3}$，…（11分）
所以$EH=\sqrt{{2^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{7}$，sin∠EHG═$\frac{2}{{\sqrt{7}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
即二面角E-BF-C的正弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$． …（12分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．