Question

10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若AE=2-$\sqrt{3}$，求二面角D₁-EC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D₁E⊥A₁D．
（2）求出平面D₁CE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角D₁-EC-D的大小．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=t（0≤t≤2），则D₁（0，0，1），E（1，t，0），A₁（1，0，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{{D}_{1}}^{\;}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}A}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
∴D₁E⊥A₁D．
解：（2）∵AE=2-$\sqrt{3}$，∴E（1，2-$\sqrt{3}$，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，1），
设平面D₁CE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
又平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角D₁-EC-D的平面角为θ，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{9+3+12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴二面角D₁-EC-D的大小为45°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．