Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）用数学归纳法证明你猜想的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$（代入计算，可求a₂、a₃、a₄值，并根据规律猜想出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ）a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$，
∴a₂=$\frac{\frac{1}{3}}{3×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{\frac{1}{6}}{3×\frac{1}{6}+1}$=$\frac{1}{9}$，a₄=$\frac{\frac{1}{9}}{3×\frac{1}{9}+1}$=$\frac{1}{12}$，
猜想：a_n=$\frac{1}{3n}$，
（Ⅱ）：①当n=1时，猜想成立，
②假设n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=$\frac{1}{3k}$．
那么n=k+1时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{1}{3k}}{3•\frac{1}{3k}+1}$=$\frac{1}{3（k+1）}$
∴当n=k+1时猜想仍成立．
根据①②，可以断定猜想对任意的n∈N^*都成立．

点评 本题主要考查归纳推理，数学归纳法．考查运算化简能力、推理论证能力、化归转化思想．