Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点．

（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若E为线段PA上一点，且$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}$，求二面角P-OE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设F为DC的中点，连接BF，推导出四边形ABFD为正方形，PO⊥BD，PO⊥AO，由此能证明PO⊥平面ABCD．
（2）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-OE-C的余弦值．

解答 证明：（1）设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形，
∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，AO=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
（2）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0），
F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），O（0，0，0），
设E（a，b，c），∵$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}$，∴（a+1，b+1，c）=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1=\frac{1}{3}}\\{b+1=\frac{1}{3}}\\{c=\frac{\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\\{c=\frac{\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，∴E（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
$\overrightarrow{OE}$=（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（1，3，0）
设平面OPE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{\sqrt{2}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面OEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=-\frac{2}{3}a-\frac{2}{3}b+\frac{\sqrt{2}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=a+3b=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，-1，2$\sqrt{2}$），
设二面角P-OE-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}•\sqrt{18}}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角P-OE-C的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．