Question

10．已知函数f_n（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证：$\frac{1}{{{{（2{a_1}-5）}^2}}}$+$\frac{1}{{{{（2{a_2}-5）}^2}}}$+…+$\frac{1}{{{{（2{a_n}-5）}^2}}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据递推公式分别求出a₂，a₃，a₄；
（2）利用数学归纳法证明即可，
（3）利用裂项求和和放缩法即可证明．

解答 解：（1）${f'_n}（x）={x^2}-（n+1）x+1$，a₁=3，又${a_{n+1}}=a_n^2-（n+1）{a_n}+1$，
∴${a_2}=a_1^2-2{a_1}+1=4$，${a_3}=a_2^2-2{a_2}+1=5$，${a_4}=a_3^2-2{a_3}+1=6$．
（2）猜想a_n=n+2，用数学归纳法证明．
当n=1时显然成立，
假设当n=k（k∈N^*）时，a_k=k+2，
则当n=k+1（k∈N^*）时，
a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1，
=k+3=（k+1）+2，
∴当n=k（k∈N^*）时，猜想成立．
根据数学归纳法对一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）证明：当k≥2时，有$\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}=\frac{1}{{{{（2k-1）}^2}}}$＜$\frac{1}{（2k-1）（2k-3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2k-3}-\frac{1}{2k-1}）$，
∴n≥2时，有$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}}$＜1+$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）]
=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）＜1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
又n=1时，$\frac{1}{{{{（2{a_k}-1）}^2}}}$=1＜$\frac{3}{2}$．
故对一切n∈N^*，有$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的运算法则，函数和数列的关系，数列递推式，考查数学归纳法的运用和裂项求和和放缩法的应用，属于中档题．