Question

18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求bcosC+ccosB的值；
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{2}$，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理求得bcosC+ccosB的值．
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理以及基本不等式求得b+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，bcosC+ccosB=b•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c•$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=a=$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{2}$，则A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得a²=3=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²=3+3bc≤3+3•${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$，∴b+c≤2$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题．