Question

17．已知点M（-1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的$\sqrt{3}$倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线l：x-my-1=0交曲线E于A，C两点，直线l₂：mx+y-m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，当CD的斜率为-1时，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）设出点坐标，由题目条件进行计算即可；
（2）由直线EP：y=x-2，设直线CD：y=-x+t，结合圆的几何性质，解得t的值．又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y=-x，解得C，D的坐标，进而可以解得m的值．

解答 解：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），
由题意，$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{3}\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，-----（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3为所求．-----（4分）
（2）由题知l₁⊥l₂，且两条直线均恒过点N（1，0），
设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，
则直线EP：y=x-2，设直线CD：y=-x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+t\end{array}\right.$，解得点$P（\frac{t+2}{2}，\frac{t-2}{2}）$，-----（6分）
由圆的几何性质，$|NP|=\frac{1}{2}|CD|=\sqrt{|ED{|^2}-|EP{|^2}}$，
而$|NP{|^2}={（\frac{t+2}{2}-1）^2}+{（\frac{t-2}{2}）^2}$，|ED|²=3，$|EP{|^2}={（\frac{|2-t|}{{\sqrt{2}}}）^2}$，解之得t=0或t=3，
又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y=-x．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+1=0\\ y=-x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1.\end{array}\right.$
不失一般性，设$C（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1），D（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）$，--（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+1=0\\ y=u（x-1）\end{array}\right.$消y得：（u²+1）x²-2（u²+2）x+u²+1=0，（1）
方程（1）的两根之积为1，所以点A的横坐标${x_A}=2+\sqrt{2}$，
又因为点$C（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）$在直线l₁：x-my-1=0上，解得$m=\sqrt{2}+1$，
直线${l_1}：y=（\sqrt{2}-1）（x-1）$，所以$A（2+\sqrt{2}，1）$，--（11分）
同理可得，$B（2-\sqrt{2}，1）$，所以线段AB的长为$2\sqrt{2}$．--（12分）

点评 本题考查求解轨迹方程的一般方法，考查学生的计算能力，属于中档题．