Question

6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=3，D为BC中点，
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A₁B∩B₁A=E，连接DE，则A₁C∥DE，由此能证明A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）以A为原点，AB、AC、AA₁所在的直线为x、y、z建立坐标系．利用向量法能求出二面角B₁-AD-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设A₁B∩B₁A=E，连接DE
则在△A₁BC中，E、D分别是A₁B、BC的中点，
∴A₁C∥DE，又A₁C?平面B₁AD，DE?平面B₁AD，
∴A₁C∥平面B₁AD…..（6分）
解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB、AC、AA₁所在的直线为x、y、z建立坐标系．
则B（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，3），
∵D为BC的中点，∴D（1，1，0）
$\overrightarrow{AD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，3）
取平面BAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），设平面B₁AD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2x+3z=0}\end{array}\right.$，令x=1，y=-1，z=-$\frac{2}{3}$，∴$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-$\frac{2}{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{22}}{11}$
∵二面角B₁-AD-B为锐二面角，
∴二面角B₁-AD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{22}}{11}$．…..（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．