Question

9．四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E，G分别是BC，PE的中点
（1）求证：AD⊥PE
（2）求二面角E-AD-G的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结OP，OE，推导出OP⊥AD，OE⊥AD，由此能证明AD⊥PE．
（2）取OE的中点F，连结FG、OG，则AD⊥OG，OE⊥AD，从而∠GOE是二面角E-AD-G的平面角，由此能求出二面角E-AD-G的余弦值．

解答 证明：（1）如图，取AD中点O，连结OP，OE，
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，
又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，
∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE．
解：（2）取OE的中点F，连结FG、OG，则由（1）知AD⊥OG，
又OE⊥AD，∴∠GOE是二面角E-AD-G的平面角，
∵PA=PD，∠APD=60°，
∴△APD为等边三角形，且边长为2，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，FG=$\frac{1}{2}OP=\frac{\sqrt{3}}{2}$，OF=$\frac{1}{2}CD$=1，
∴OG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴cos$∠GOE=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角E-AD-G的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．