Question

5．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{2c}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件化简得 f（x+2）=m-|x|，由绝对值不等式的解法求出不等式的解集，由解集为[-1，1]求出m的值；
（Ⅱ）由（I）得a+b+4c=1，利用柯西不等式求出$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=m-|x-2|得，f（x+2）=m-|x|，
由f（x+2）≥0得，|x|≤m，解得-m≤x≤m，
∵f（x+2）≥0的解集为[-1，1]，∴m=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a，b，c为正数，且a+b+4c=m=1，
∴由柯西不等式可得，$（\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}）^{2}$≤[${1}^{2}+{1}^{2}+（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$][$（\sqrt{a}）^{2}+（\sqrt{b}）^{2}+（\sqrt{4c}）^{2}$]
=$\frac{5}{2}$（a+b+4c）=$\frac{5}{2}$，当且仅当$\sqrt{a}=\sqrt{b}=2\sqrt{2c}$时取等号，
则$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}≤\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}$的最大值是$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在最值问题中的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．