Question

16．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC．
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．
（3）求二面角C-VB-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得OM∥VB，由此能证明VB∥平面MOC．
（2）推导出OC⊥AB，从而OC⊥平面VAB，由此能证明平面MOC⊥平面VAB．
（3）由OC⊥面VAB，过O作OE⊥VB交VB于点E，连结CE，则∠OEB即为二面角C-VB-A的平面角．由此能求出二面角C-VB-A的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB．
又因为OM?平面MOC，VB?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．
（2）因为AC=BC，O为AB中点，
所以OC⊥AB．
因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，
OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB．
因为OC?平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB．
解：（3）由（2）知OC⊥面VAB，过O作OE⊥VB交VB于点E，连结CE，
因为OC⊥面VAB，所以OC⊥VB，
则∠OEB即为二面角C-VB-A的平面角．
在直角三角形COE中，
OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC=1，CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
所以cos∠OEB=$\frac{OE}{CE}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故二面角C-VB-A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．