Question

6．已知圆C：（x+2）²+y²=1，P（x，y）为圆C上任意一点．
（1）求$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求（x-1）²+（y-1）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y-2}{x-1}$表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），由圆心到切线的距离等于半径，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值．
（2）令t=x-2y，则当圆（x+2）²+y²=1和此直线相切时，t取得最值．再根据圆心（-2，0）到直线x-2y-t=0的距离为1，求得t的值，即为所求．
（3）求出（-2，0）与（1，1）的距离为$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，即可求（x-1）²+（y-1）²的最大值和最小值．

解答 解：（1）$\frac{y-2}{x-1}$表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，
设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得 $\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3}{4}$±$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值为$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值为$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）令t=x-2y，即y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$t，表示斜率为$\frac{1}{2}$、在y轴上的截距为-$\frac{t}{2}$的直线，
故当此直线和圆（x+2）²+y²=1相切时，t取得最值．
由圆心（-2，0）到直线x-2y-t=0的距离为半径1，可得$\frac{|-2-0-t|}{\sqrt{5}}$=1，
求得t=-2-$\sqrt{5}$，或t=-2+$\sqrt{5}$，
故t=x-2y的最大值为-2+$\sqrt{5}$，t=x-2y的最小值为-2-$\sqrt{5}$．
（3）（-2，0）与（1，1）的距离为$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，
∴（x-1）²+（y-1）²的最大值为（$\sqrt{10}$+1）²=11+2$\sqrt{10}$，最小值为（$\sqrt{10}$-1）²=11-2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．