Question

16．已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，若函数f（x）为常函数，求x的取值范围．
（Ⅱ）若不等式2f（x）-2|x+1|+x+3a-1＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入f（x），根据绝对值的性质求出x的范围即可；
（Ⅱ）根据2|x-a|+x+3a-1＞0在x∈R恒成立，通过讨论x的范围，去掉绝对值，解关于x的不等式得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x+1|+|x-2|，
若函数f（x）为常函数，则x+1≥0，x-2≤0，
故-1≤x≤2；
（Ⅱ）若不等式2f（x）-2|x+1|+x+3a-1＞0对x∈R恒成立，
即2|x-a|+x+3a-1＞0在x∈R恒成立，
x≥a时，3x+a-1≥0，解得：x≥$\frac{1-a}{3}$，
x＜a时，2a-2x+x+3a-1＞0，解得：x＜5a-1，
∴$\frac{1-a}{3}$≤5a-1，解得：a≥$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．