Question

8．已知函数f（x）=e^x-x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=（m-1）x+n，若对?x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数f′（x）=e^x-1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极小值，并判断没有极大值；
（2）根据条件可得出，对任意的x∈R，都有e^x-mx-n≥0成立，然后令u（x）=e^x-mx-n，求导u′（x）=e^x-m，讨论m的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出m+n≤2m-mlnm，同样根据导数便可求出2m-mlnm的最大值，这样即可求出m+n的最大值．

解答 解：（1）依题意f′（x）=e^x-1；
令f′（x）＜0得x＜0
令f′（x）＞0得x＞0
故函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增
故函数f（x）的极小值为f（0）=1，没有极大值．
（2）依题意对?x∈R，f（x）≥g（x），即e^x-x≥（m-1）x+n，即e^x-mx-n≥0恒成立
令u（x）=e^x-mx-n，则u′（x）=e^x-m
①若m≤0，则u′（x）＞0，u（x）在R上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去．
②若m＞0，令u′（x）=0得x=lnm
当u′（x）＜0，即x∈（-∞，lnm）时，u（x）单调递减；
当u′（x）＞0，即x∈（lnm，+∞）时，u（x）单调递增．
故$u（x）_{min}=u（lnm）={e}^{lnm}-mlnm-n$=m-mlnm-n≥0；
故m+n≤2m-mlnm
令q（m）=2m-mlnm，则q′（x）=1-lnm
当m∈（0，e）时，q′（x）＞0，q（x）单调递增；
当m∈（e，+∞）时，q′（x）＜0，q（x）单调递减
故q（x）_max=q（e）=2e-elne=e，即m+n≤e，即m+n的最大值是e．

点评 考查根据导数求函数极值的方法与过程，以及导数符号和函数单调性的关系，以及根据导数求函数最值的方法．