Question

6．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\right._{\;}^{\;}\left.\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}]$，求矩阵A的特征值和特征向量．

Answer 1

分析 先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量．

解答 B．矩阵A的特征多项式为$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\ 1&{λ-4}\end{array}}|={λ^2}-5λ+6$，…（2分）
由f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3．．…（4分）
当λ₁=2时，特征方程组为$\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ x-2y=0\end{array}\right.$
故属于特征值λ₁=2的一个特征向量${α_1}=[{\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}}]$；…（7分）
当λ₂=3时，特征方程组为$\left\{\begin{array}{l}2x-2y=0\\ x-y=0\end{array}\right.$
故属于特征值λ₂=3的一个特征向量${α_2}=[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$．  …（10分）

点评 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算问题，也考查了运算求解的能力，是基础题目．