Question

4．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$（x，y∈R）．
（1）若x=y=1，求|$\overrightarrow{BD}$|；
（2）若$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=36，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BA}$=54，求x，y．

Answer 1

分析 （1）x，y=1时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度，即求出$|\overrightarrow{BD}|$的值；
（2）可设BD=d，∠DBC=θ，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{6dcosθ=36}\\{6dcos（60°-θ）=54}\end{array}\right.$，解该不等式组可求出d的大小，然后对$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$两边平方即可得出${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\frac{7}{3}$①；再根据该问的条件可得到方程x-y=1②，这样两式联立即可求出x，y的值．

解答 解：（1）如图，

若x=y=1，则$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$；
∴BD过AC的中点E，且BD=2BE=$6\sqrt{3}$；
即$|\overrightarrow{BD}|=6\sqrt{3}$；
（2）设∠DBC=θ，则∠DBA=60°-θ，设BD=d；
∴由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}=36$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BA}=54$得：
$\left\{\begin{array}{l}{6dcosθ=36}\\{6dcos（60°-θ）=54}\end{array}\right.$；
解得，cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，d=$2\sqrt{21}$；
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}={x}^{2}{\overrightarrow{BA}}^{2}+2xy\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+{y}^{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$；
即84=36x²+36xy+36y²，整理得，${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\frac{7}{3}$①；
且$\overrightarrow{BD}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CA}=18$；
∴$x\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=18x-18y=18；
∴x-y=1②；
①②联立得，$y=\frac{1}{3}，或-\frac{4}{3}$（舍去），x=$\frac{4}{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及等边三角形的性质，向量数量积的运算及计算公式，消元法解方程组．