Question

12．已知函数f（x）=x³-3x-1，其定义域是[-3，2]．
（1）求f（x）在其定义域内的极大值和极小值；
（2）若对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为f（x）_max-f（x）_min≤t即可，求出f（x）的最大值和最小值，从而求出t的范围．

解答 解：（1）求导得f'（x）=3x²-3
令f'（x）=0得x=±1，∴x=±1为极值点------（2分）
令f'（x）＞0得-3≤x＜-1或1＜x≤2令f'（x）＜0得-1＜x＜1

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-19	增	极大值1	减	极小值-3	增	1

所以f（x）极大值为f（-1）=1，极小值为f（1）=-3------（6分）
（2）对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，
则只须f（x）_max-f（x）_min≤t即可------（8分）
由（1）可知f（x）_max=1，f（x）_min=-19，
t≥f（x）_max-f（x）_min=1-（-19）=20，即t≥20，
所以t的最小值为20------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．