Question

2．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．
（Ⅰ）求证：OE⊥FC：
（Ⅱ）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 （Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，
故OC⊥AB．  
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AC=$\sqrt{3}$，则OC=$\sqrt{2}$
建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），则
$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
设平面FCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，-1，0），
∴同理可得平面CEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∵二面角F-CE-B是钝二面角，
∴二面角F-CE-B的余弦值为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的运用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．