Question

15．在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC=$\sqrt{3}$，∠PBA=$\frac{π}{4}$．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．
（2）法一：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的大小．
法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PO⊥平面ABC，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∠AFE就是二面角A-PC-B的平面角，由此能求出二面角A-PC-B的大小．

解答 证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PB．（4分）
（2）解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则$A（0，\frac{1}{2}，0），B（0，0，0），C（1，0，0）$，（6分）
∵平面PAB⊥平面ABC，∴点P在坐标平面yBz内，
∵PC=$\sqrt{3}$，BC=1，BC⊥PB，∴$PB=\sqrt{2}$，
作PQ垂直于直线AB于Q，
则$PQ=PB•sin∠PBA=\sqrt{2}•sin\frac{π}{4}=1$，QB=1，
∴P（0，1，1），$\overrightarrow{BP}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{PC}=（1，-1，-1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，-\frac{1}{2}，0）$，（8分）
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n_1}•\overrightarrow{BP}=0\\{n_1}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ x-y-z=0\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n_1}=（0，1，-1）$，
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a．b．c），
$\overrightarrow{PA}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，-1，-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PA}=-\frac{1}{2}b-c=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PC}=a-b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n_2}=（1，2，-1）$，（10分）
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由图知，二面角A-PC-B是锐二面角，
∴二面角A-PC-B的大小是$\frac{π}{6}$．（12分）
解：（2）解法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PQ⊥平面ABC，
∵$∠PBA=\frac{π}{4}$，$PB=\sqrt{2}$，PO=BO=1，
如图，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC，取PC中点F，连接AF，EF，
∵AO=AB=$\frac{1}{2}$，PO=BC=1，
∴$AP=AC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，∴AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，
∴PC⊥EF，∴∠AFE就是二面角A-PC-B的平面角．（8分）
$AF=\sqrt{A{P^2}-P{F^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$AE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$sin∠AFE=\frac{AE}{AF}=\frac{1}{2}$，$∠AFE=\frac{π}{6}$，
∴二面角A-PC-B的大小是$\frac{π}{6}$．（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．