Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-QB-C为30°，求线段PM与线段MC的比值t．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．又QB⊥AD．从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出t的值．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点．
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD..（4分）
解：（2）∵PA=PD，Q为AD的中点．∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD（6分）
如图，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系．
则平面BQC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）．
设M（x，y，z），则$\overrightarrow{PM}$=（x，y，z-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z），
∵$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{MC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{t}{1+t}}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}}\end{array}\right.$．
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$），
设平面MBQ的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=-\frac{t}{1+t}x+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}y+\frac{\sqrt{3}}{1+t}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，t$），
∵二面角MBQC为30°，cos30°=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|t|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=3．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．