Question

13．如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，$BC=\sqrt{2}AB$，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论．
（2）过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，分别求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P-AM-D的大小．

解答 解：（1）取CD的中点O，连接OP，
∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，
∵CD⊥BC，∴BC⊥平面PCD，
∴PD⊥BC…（2分）
（2）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
∵$BC=\sqrt{2}AB$，不妨设AB=2，则BC=2$\sqrt{2}$，
依题意得：A（2$\sqrt{2}$，-1，0），D（0，-1，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），M（$\sqrt{2}$，1，0），
∵OP⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$是平面ADM的法向量，
设平面PAM的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，又$\overrightarrow{PA}=（2\sqrt{2}，-1，-\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，1，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{3}{\sqrt{6}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-AM-D的大小为45°．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．