Question

3．设有半径为4km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A，B两人速度一定，其速度比为4：1，问两人在何处相遇？

Answer 1

分析 如图所示：设BO=x，OA=y，则AB=4x-y．在Rt△AOB中由勾股定理得：x²+y²=（4x-y）²，解得：y=$\frac{15x}{8}$．最后在△AOB中利用面积法可求得：x=$\frac{68}{15}$，从而可确定出两人相遇出的位置．

解答 解：如图所示：
设BO=x，OA=y，则AB=4x-y．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，即x²+y²=（4x-y）²，
整理得：15x²-8xy=0．
解得：x=0（舍去），y=$\frac{15x}{8}$．
∴AB=4x-$\frac{15x}{8}$=$\frac{17x}{8}$．
∵AB是圆O的切线，
∴OC⊥AB．
∵$\frac{1}{2}•OA•OB=\frac{1}{2}•AB•OC$，
∴$\frac{1}{2}•x•\frac{15}{8}x=\frac{1}{2}×4×\frac{17}{8}x$．解得：x=$\frac{68}{15}$．
答：两人在距离村中心正北$\frac{68}{15}$千米处相遇．

点评 本题主要考查的是勾股定理、切线的性质，利用面积法求得x的值是解题的关键．