Question

6．如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，AC=BC，D为弧AB上任一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：BD=AE；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）由题意知∠CAD=∠E+∠ECA=∠CAB+∠BAD，再证明△ECA≌△DCB，即得BD=AE；
（2）由条件推出∠ECA+∠ACD=90°，DE=2$\sqrt{2}$CD，从而证明AD+CD=$\sqrt{2}$CD．

解答 解：（1）证明：由题意知
∠CAD=∠E+∠ECA=∠CAB+∠BAD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠DCB，
∴∠ECA=∠DCB，
∴△ECA≌△DCB，
∴BD=AE；
（2）证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°=∠DAB+∠ACD，
∴∠ECA+∠ACD=90°，
∵CE=CD，
∴DE=2$\sqrt{2}$CD，
∵BD=AE，AD+BD=DE，
∴AD+CD=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题考查了线段相等的证明问题，也考查了推理与证明的应用问题，是综合性题目．