Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，推导出四边形BCFM是平行四边形，从而FC∥BM，由此能证明FC∥面ABP．
（Ⅱ）连接CE，推导出PE⊥AB，PE⊥EC，由此能证明PE⊥面ABCD．
（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PA-C余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，
因为M是AP中点，F是PD中点，
所以$MF∥AD，MF=\frac{1}{2}AD$，
又因为$BC∥AD，BC=\frac{1}{2}AD$，
所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，
又FC?面ABP，BM?面ABP
所以FC∥面ABP…（5分）
（Ⅱ）连接CE，
因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，
所以PE⊥AB且$PE=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$，
在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以$EC=\sqrt{2}$
在△PEC中，$PE=\sqrt{3}$，$EC=\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{5}$，
所以PE⊥EC
又因为AB∩EC=E，AB?面ABCD，EC?面ABCD
所以PE⊥面ABCD…（9分）
解：（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，A（-1，0，0），
因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，
面ABP的法向量为$\overrightarrow{BC}=（0，1，0）$
设面ABC的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$$\overrightarrow{AP}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\\ 2{x_0}+{y_0}=0\end{array}\right.$，取x₀=1，得$\overrightarrow{n_2}=（1，-2，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
二面角B-PA-C余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．