Question

2．已知函数g（x）=ax与h（x）=-lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 若函数g（x）=ax与h（x）=-lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程ax=lnx在x＞0上有解，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：若函数g（x）=ax与h（x）=-lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程ax=lnx在x＞0上有解，
∴a=$\frac{lnx}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当f′（x）＜0时，解得x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，
当f′（x）＞0时，解得0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴a≤$\frac{1}{e}$，
故选：D．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程方程ax=lnx在x＞0上有解．