Question

17．如果无穷数列{a_n}满足下列条件：
①a_n+a_n+2≤2a_n+1；
②存在实数M，使得a_n≤M，其中n∈N*，
那么我们称数列{a_n}为Ω数列．
（1）设{a_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，证明：数列{S_n}是Ω数列；
（2）设数列{a_n}的通项为a_n=5n-2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（3）设数列{a_n}是各项均为正整数的Ω数列，问：是否存在常数n₀∈N*，使得a${\;}_{n_0}}$＞a${\;}_{{n_0}+1}}$，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列前n项和公式，$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{q}$+a₃=$\frac{7}{4}$．整理求得q及a₁的值，即求得a_n=$\frac{1}{2n-1}$，S_n=2-$\frac{1}{2n-1}$＜2，有$\frac{Sn+Sn+2}{2}$=2-$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2n+2}$＜2-$\frac{1}{2n}$=S_n+1，且S_n＜2，即可证明{S_n}是Ω数列；
（2）由a_n+1-a_n＜0，故数列{a_n}单调递减；当n=1，2时，a_n+1-a_n＞0，即a₁＜a₂＜a₃，则数列{b_n}中的最大项是a₃=7，即可求得M≥7；
（3）采用反证法，假设存在常数n∈N*，使得a${\;}_{n_0}}$＞a${\;}_{{n_0}+1}}$，∵{a_n}是Ω数列，得a${\;}_{{n_0}+1}}$-a${\;}_{n_0}}$≤1，${a}_{{n}_{0}+2}$-a${\;}_{{n_0}+1}}$≤-1，采用累加法${a}_{{n}_{0}+m}$-${a}_{{n}_{0}}$≤-m，
由当m取${a}_{{n}_{0}}$时，${a}_{{n}_{0}+m}$≤0与a_n∈N*矛盾，不存在常数n₀∈N*，使得a${\;}_{n_0}}$＞a${\;}_{{n_0}+1}}$．

解答 解：（1）证明∵{a_n}是各项正数的等比数列，S_n是其前n项和，a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，
设其公比为q＞0，
∴$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{q}$+a₃=$\frac{7}{4}$．整理得6q²-q-1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$，q=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴a₁=1，…（3分）
a_n=$\frac{1}{2n-1}$，S_n=2-$\frac{1}{2n-1}$＜2，…（4分）
对任意的n∈N^*，有$\frac{Sn+Sn+2}{2}$=2-$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2n+2}$＜2-$\frac{1}{2n}$=S_n+1，且S_n＜2，
故{S_n}是Ω数列．…（5分）
（2）∵a_n+1-a_n=5-2ⁿ，…（7分）
∴当n≥3，a_n+1-a_n＜0，故数列{a_n}单调递减；
当n=1，2时，a_n+1-a_n＞0，即a₁＜a₂＜a₃，
则数列{b_n}中的最大项是a₃=7，
所以M≥7．…（9分）
（3）证明：假设存在常数n∈N*，使得a${\;}_{n_0}}$＞a${\;}_{{n_0}+1}}$，即a${\;}_{{n_0}+1}}$-a${\;}_{n_0}}$＜0；…（10分）
∵{a_n}是各项均为正整数的数列，所以a${\;}_{{n_0}+1}}$-a${\;}_{n_0}}$≤1；
又∵{a_n}是Ω数列，所以${a}_{{n}_{0}}$+${a}_{{n}_{0}+2}$≤2a${\;}_{{n_0}+1}}$，
即${a}_{{n}_{0}+2}$-a${\;}_{{n_0}+1}}$≤a${\;}_{{n_0}+1}}$-a${\;}_{n_0}}$≤-1，得${a}_{{n}_{0}+2}$-a${\;}_{{n_0}+1}}$≤-1，…（12分）
以此类推，${a}_{{n}_{0}+k}$-${a}_{{n}_{0}+k-1}$≤-1，①（n∈N*，）；
将①中k赋值1，2，3…m，累加可得${a}_{{n}_{0}+m}$-${a}_{{n}_{0}}$≤-m，
即${a}_{{n}_{0}+m}$≤${a}_{{n}_{0}}$-m；…（14分）
当m取${a}_{{n}_{0}}$时，${a}_{{n}_{0}+m}$≤0与a_n∈N*矛盾；
∴假设错误，不存在常数n₀∈N*，使得${a}_{{n}_{0}}$＞${a}_{{n}_{0}+1}$．…（16分）

点评 本题考查数列的新定义，考查等比数列前n项和公式，考查“累加法”及“反证法”，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于中档题．