Question

13．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（　　）

• A． $\frac{10}{33}$
• B． $\frac{13}{36}$
• C． $\frac{13}{23}$
• D． $\frac{23}{33}$

Answer 1

分析 如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B₁B，B₁C₁的中点，F点在A₁C₁上，且FC₁=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，则该截面为AMNF．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B₁B，B₁C₁的中点，F点在A₁C₁上，且FC₁=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，则该截面为AMNF．
连接MN，并延长交CC₁的延长线于点E，交CB的延长线于点D，三棱柱的体积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$ײ×4=4$\sqrt{3}$
设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V₁，V₂，EC₁=2，BD=1，
∴${V}_{E-F{C}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．V_M-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．V_A-DCE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×9$=3$\sqrt{3}$．
∴V₁=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{23\sqrt{3}}{9}$，V₂=$4\sqrt{3}$-$\frac{23\sqrt{3}}{9}$=$\frac{13\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$=$\frac{13}{23}$．

点评 本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．