Question

16．已知函数f（x）=x²-2ln|x|与g（x）=sin（ωx+φ）有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g（x）=（　　）

• A． sin（2πx-$\frac{π}{2}$）
• B． sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）
• C． sin（πx-$\frac{π}{2}$）
• D． sin（πx+$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 利用导数研究函数f（x）的最值，画出f（x），g（x）的图象，利用f（x）与g（x）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论．

解答 解：f（x）定义域为x≠0，
①当x＞0时，f（x）=x²-2ln|x|=x²-2lnx，
f'（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
令f'（x）=0，解得x=1，
由f'（x）＜0，则0＜x＜1，
由f'（x）＞0，则x＞1，
则当x=1时，f（x）取的最小值，最小值为f（1）=1；
②当x＜0时，f（x）=x²-2ln|x|=x²+2lnx，
则f'（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
令f'（x）=0，解得x=-1，
由f'（x）＜0，则x＜-1，
由f'（x）＞0，则-1＜x＜0，
则当x=-1时，函数f（x）取最小值，最小值为f（-1）=1．
综合①②所述：f（x）的最小值为f（-1）=f（1）=1，
∵只有2个公共点，
∴g（x）最大值为1．
则最长周期为|（-1）-1|=2，即T=$\frac{2π}{ω}$=2，即ω=π，
则g（1）=sin（π+φ）=1，
即π+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z．
则周期最大的g（x）=sin（πx+2kπ-$\frac{π}{2}$）=sin（πx-$\frac{π}{2}$），k∈Z，
故选：C．

点评 本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．