Question

19．如图：点P在直径AB=1的半圆上移动（点P不与A，B重合），过P作圆的切线PT且PT=1，∠PAB=α，
（1）当α为何值时，四边形ABTP面积最大？
（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范围？

Answer 1

分析 （1）由AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠APB为直角，再由AB=1，表示出PA与PB，根据PT与圆相切，表示出BC，进而表示出四边形ABTP的面积，整理后，利用正弦函数的值域及二次函数性质确定出最大值即可；
（2）把表示出的PA，PB，PC代入所求式子，设t=cosα+sinα，可得出t²=1+2cosαsinα，进而表示出cosαsinα，代入所求式子整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域及二次函数性质确定出范围即可．

解答 解：（1）∵AB为直径，
∴∠APB=90°，AB=1，
∵∠PAB=α，
∴PA=cosα，PB=sinα，
又PT切圆于P点，∠TPB=∠PAB=α，
∴BC=sinα•PB=sin²α，
∴S_{四边形ABTP}=S_△PAB+S_△TPB
=$\frac{1}{2}$PA•PB+$\frac{1}{2}$PT•BC
=$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{4}$sin2α+$\frac{1}{4}$（1-cos2α）
=$\frac{1}{4}$（sin2α-cos2α）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜2α-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{4}$π，
∴当2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{3}{8}$π时，S_{四边形ABTP}最大；
（2）|PA|+|PB|+|PC|=cosα+sinα+sinαcosα，
设t=cosα+sinα，则t²=cos²α+sin²α+2cosαsinα=1+2cosαsinα，
∴cosαsinα=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴|PA|+|PB|+|PC|=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{{t}^{2}}{2}$+t-$\frac{1}{2}$，
∵t=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，且t=-1∉（1，$\sqrt{2}$]，
∴|PA|+|PB|+|PC|=$\frac{{t}^{2}}{2}$+t-$\frac{1}{2}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]时单调递增，
则（|PA|+|PB|+|PC|）∈（1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评 此题考查了与圆有关的比例线段，正弦函数的定义域与值域，两角和与差的正弦函数公式，以及二次函数性质，熟练掌握三角函数的恒等变换是解本题的关键．