【题目】若数列满足
则称
为
数列.记
(1)若为
数列,且
试写出
的所有可能值;
(2)若为
数列,且
求
的最大值;
(3)对任意给定的正整数是否存在
数列
使得
?若存在,写出满足条件的一个
数列
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,见解析.
【解析】
(1)根据题意,则
或
,分析后可得符合条件的
数列;
(2)由于由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数. 使
最大的
,可以让数列
先逐渐增大1,到中间位置后再逐渐减小1,由等差数列的前
项和公式可得;
(3)令,则
,用
表示
有
,求出
,
是偶数,
,则
是偶数,
或
(
),可分别求得结论.
(1)满足条件的数列
,及对应的
分别为:
(i) 0, 1, 2,1, 0. (ii) 0, 1, 0,1, 0.
(iii) 0, 1, 0,-1, 0. (iv) 0, -1, -2,-1, 0.
(v) 0, -1, 0,-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0.
因此,的所有可能值为:
(2) 由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数.
于是使最大的
为:
这里 并且
因此, (n为不小于
(3)令,则
于是由
得
故
因为,故
为偶数,
所以为偶数,
于是要使,必须
为偶数,即
为4的倍数,亦即
或
(i)当时,
数列
的项在满足:
时,
(ii)当时,
数列
的项在满足:
时,
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【题目】已知,
,…,
是由
(
)个整数
,
,…,
按任意次序排列而成的数列,数列
满足
(
),
,
,…,
是
,
,…,
按从大到小的顺序排列而成的数列,记
.
(1)证明:当为正偶数时,不存在满足
(
)的数列
.
(2)写出(
),并用含
的式子表示
.
(3)利用,证明:
及
.(参考:
.)
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点,若
为线段
上的动点(不含
).
(1)平面与平面
是否互相垂直?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(2)求二面角的余弦值的取值范围.
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【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:
.若抛物线
的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
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【题目】已知非空集合是由一些函数组成,满足如下性质:①对任意
,
均存在反函数
,且
;②对任意
,方程
均有解;③对任意
、
,若函数
为定义在
上的一次函数,则
.
(1)若,
,均在集合
中,求证:函数
;
(2)若函数(
)在集合
中,求实数
的取值范围;
(3)若集合中的函数均为定义在
上的一次函数,求证:存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
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【题目】为了配合今年上海迪斯尼乐园工作,某单位设计了统计人数的数学模型,以
表示第
个时刻进入园区的人数;以
表示第
个时刻离开园区的人数.设定以15分钟为一个计算单位,上午9点15分作为第1个计算人数单位,即
;9点30分作为第2个计算单位,即
;依次类推,把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天14点至15点这1小时内进入园区的游客人数、离开园区的游客人数
各为多少?
(2)从13点45分(即)开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说明理由.
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【题目】如图所示,、
是两个垃圾中转站,
在
的正东方向
千米处,
的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在
的北面建一个垃圾发电厂
.垃圾发电厂
的选址拟满足以下两个要求(
、
、
可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点
到直线
的距离要尽可能大).现估测得
、
两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为
吨和
吨.设
.
(1)求(用
的表达式表示);
(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?
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