【题目】已知函数,
.
(1)当时,判断
的奇偶性,并说明理由;
(2)当,
时,若
,求
的值;
(3)若,且对任意
不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)或
(3)
【解析】
(1)当时,
为奇函数;当
时,
为非奇非偶函数.运用奇偶性的定义,即可得到结论;
(2)当,
时,若
,即为
,当
,当
,去掉绝对值,由指数方程的解法,即可得到所求
的值;
(3)只需考虑的情况,此时,不等式即
,即
,故
.利用函数的单调性求得
和
,从而求得
的取值范围.
解:(1)当时,
,
当时,
为奇函数;
当时,
为非奇非偶函数.
理由:当时,
,
,
为奇函数;
当时,
,
且,则
为非奇非偶函数;
(2)当,
时,若
,
即为,
当,即
时,
,
解方程可得或
(舍去);
当,即
时,
,
解方程可得.
则或
;
(3)当时,不等式即
,显然恒成立,
故只需考虑的情况,
此时,不等式即,即
,
故.
由于函数在
上单调递增,
故.
对于函数,
,
当时,
,
当且仅当时,
的最小值
.
此时,要使存在,必须有
,
即,此时
的取值范围是
.
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【题目】现有六名百米运动员参加比赛,甲、乙、丙、丁四名同学猜测谁跑了第一名.甲猜不是
就是
;乙猜不是
;丙猜不是
中任一个;丁猜是
中之一,若四名同学中只有一名同学猜对,则猜对的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【题目】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于-种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.
若在图④中随机选取-点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】若数列满足
则称
为
数列.记
(1)若为
数列,且
试写出
的所有可能值;
(2)若为
数列,且
求
的最大值;
(3)对任意给定的正整数是否存在
数列
使得
?若存在,写出满足条件的一个
数列
;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线(
),过点
(
)的直线
与
交于
、
两点.
(1)若,求证:
是定值(
是坐标原点);
(2)若(
是确定的常数),求证:直线
过定点,并求出此定点坐标;
(3)若的斜率为1,且
,求
的取值范围.
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【题目】某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为( )
A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元
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【题目】已知函数,且函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称.
(1)若存在,使等式
成立,求实数m的最大值和最小值
(2)若当时不等式
恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知二次函数的定义域为
恰是不等式
的解集,其值域为
,函数
的定义域为
,值域为
.
(1)求函数定义域为
和值域
;
(2)是否存在负实数,使得
成立?若存在,求负实数
的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)若函数在定义域
上单调递减,求实数
的取值范围.
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【题目】设直线系(
),则下列命题中是真命题的个数是( )
①存在一个圆与所有直线相交;
②存在一个圆与所有直线不相交;
③存在一个圆与所有直线相切;
④中所有直线均经过一个定点;
⑤不存在定点不在
中的任一条直线上;
⑥对于任意整数,存在正
边形,其所有边均在
中的直线上;
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A.3B.4C.5D.6
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