Question

【题目】某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示．
根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．

分数	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被录取院校层次	专科	本科	重本

（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，样本容量

解得

（2）解：成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是 ，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为

记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；

则

（3）解：成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人，

故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3

所以， ， ， ，

故随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P

随机变量ξ的数学期望

【解析】（1）由题意可知，样本容量n= ，再根据频率分布直方图的性质即可得出x，y．（2）成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是 ，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为 ．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；进而得出P（E）=1﹣ 即可得出．（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人，可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布列即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．