Question

（理）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，f（-2）=0，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）求f（x）的表达式．
（2）g（x）=4f′（x）-sinx-2数列{a_n}满足：a_n+1=g（a_n），0＜a₁＜1，n=1，2，3，证明：（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；（Ⅱ）a_n+1＜

1

6

an³．

Answer 1

分析：（1）根据任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立，当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立，取x=2时，f（2）≤2成立，从而f（2）=2，再利用f（-2）=0，即可求得b的值．利用函数f（x）≥x恒成立，通过判别式推出a的值，即可求出函数的解析式．
（2）（Ⅰ）利用数学归纳法证明0＜a_n＜1，通过函数的导数证明0＜a_n+1＜a_n＜1即可．
（Ⅱ）通过函数的导数判断函数的单调性，然后证明所证不等式即可．

解答：解：（1）由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立
∵当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

（x+2）2成立，
∴取x=2时，f（2）≤

1

8

（2+2）²=2成立，
∴f（2）=2．
∴4a+2b+c=2①
∵f（-2）=0
∴4a-2b+c=0②
由①②可得，∴4a+c=2b=1，
∴b=

1

2

，c=1-4a，又f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0恒成立，
∴a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a(1-4a)≤0
可得a=

1

8

，∵c=1-4a，
∴c=

1

2

，
∴a=

1

8

，b=

1

2

，c=

1

2

，
∴f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

．
（2）：（Ⅰ）证明：0＜a_n＜1，
①当n=1时，0＜a₁＜1，成立；
②假设n=k时，0＜a_k＜1，
那么，a_k+1=a_k-sina_k
∵0＜a_k＜1，∴a_k-sina_k∈（0，1）．即a_k+1∈（0，1）；
由①②可知，0＜a_n＜1，n=1，2，3，…成立．
下面证明a_n＞a_n+1
g（x）=4f′（x）-sinx-2=x-sinx，
g′（x）=1-cosx＞0，∴g（x）是增函数，
g（x）≥g（0）=0．
当x∈[0，1）时，sina_n＞0，a_n+1=a_n-sina_n，
∴a_n＞a_n+1
∴0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）设h（x）=x-sinx-

1

6

x3，易证h（x）=x-sinx-

1

6

x3
在x∈[0，1）时单调递减，
所以，h（x）＜h（0）=0，
∴x-sinx＜

1

6

x3，a_n∈（0，1），
∴a_n+1＜

1

6

an³．

点评：本题重点考查二次函数的解析式，考查赋值思想，对分析转化的推理能力要求较高，考查数学归纳法以及函数的导数判断函数的单调性的方法．