练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2007•闵行区一模）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
    （1）（文）当a=1，c=
    12
    时，求出不等式f（x）＜0的解；
    （2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
    （3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
    （4）若f（0）=1，且f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
    分析：（1）当a=1，c=
    1
    2
    时，f(x)=x2+bx+
    1
    2
    ，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，利用根与系数的关系求出函数的两个零点，结合图象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由题意得出函数f（x）的零点，结合图解法求得f（x）＜0的解即可；
    （3）由于f（x）的图象与x轴有两个交点，结合图象表示出三交点为顶点的三角形的面积表达式，从而得到a关于c的表达式，最后利用基本不等式求a的取值范围；
    （4）要使f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2-2km+1成立，令g（k）=-2km+m2，下面问题转化为恒成立问题解决，利用二次函数的图象与性质解得实数m的取值范围．
    解答：解：（1）文：当a=1，c=
    1
    2
    时，f(x)=x2+bx+
    1
    2
    ，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
    ∵f(
    1
    2
    )=0    ，设另一个根为x2，则
    1
    2
    x2=
    1
    2
    ，∴x2=1，（2分）
    则 f（x）＜0的解为  
    1
    2
    ＜x＜1    ．（4分）
    （2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
    设另一个根为x2，则cx2=
    c
    a
    ∴x2=
    1
    a
    （2分）
    又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
    1
    a
    ＞c    ，则f（x）＜0的解为c＜x＜
    1
    a
    （4分）
    （3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
    设另一个根为x2，则cx2=
    c
    a
    ∴x2=
    1
    a

    又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
    1
    a
    ＞c    ，则三交点为(c，0)，(
    1
    a
    ，0)，(0，c)    （6分）
    这三交点为顶点的三角形的面积为S=
    1
    2
    (
    1
    a
    -c)c=8    ，（7分）
    ∴a=
    c
    16+c2
    ≤
    c
    2
    		16
    c
    =
    1
    8
    故a∈(0，  
    1
    8
    ]    ．（10分）
    （4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
    1
    a
    ＞c    ，
    ∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
    要使f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2-2km+1成立，（14分）
    必m2-2km≥0，令g（k）=-2km+m2，
    对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要
    g(1)≥0
    g(-1)≥0
    ，即
    m2-2m≥0
    m2+2m≥0
    （16分）
    解得实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
    或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．
    点评：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式与一元二次方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闵行区一模）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是an=
    an2+2
    bn2-n+3
    ，bn=(1+
    1
    n
    )bn    ，其中a、b是实常数．若
    lim
    n→∞
    an=2    ，
    lim
    n→∞
    bn=e
    1
    2
    ，且a，b，c成等比数列，则c的值是
    1
    4
    1
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闵行区一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜
    π
    2
    )    的一系列对应值如下表：
    x -
    π
    6
    π
    3
    5π
    6
    4π
    3
    11π
    6
    7π
    3
    17π
    6
    y -1 1 3 1 -1 1 3
    （1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
    （2）（文）当x∈[0，2π]时，求方程f（x）=2B的解．
    （3）（理）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+
    2π
    3
    ]    的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当x∈[0，
    π
    3
    ]    时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闵行区一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a14=20，则S19=
    190
    190
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闵行区一模）不等式|2x-3|＜5的解是
    （-1，4）
    （-1，4）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闵行区一模）方程9x+3x-2=0的解是
    0
    0
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案