Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分别是AA₁，B₁C₁上的点，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q．
（1）求证：PQ∥平面ABC₁；
（2）若AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=$\sqrt{13}$，求证：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）在BB₁取点E，使BE=3EB₁，连结PE、QE，推导出平面ABC₁∥平面PQE，由此能证明PQ∥平面ABC₁．
（2）推导出AB⊥CC₁，BC⊥CC₁，AB⊥AC，从而AB⊥平面AA₁C₁C，由此能证明平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

解答 证明：（1）在BB₁取点E，使BE=3EB₁，连结PE、QE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分别是AA₁，B₁C₁上的点，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q，
∴PE∥AB，QE∥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，PE∩QE=E，AB、BC₁?平面ABC₁，
PE、QE?平面PQE，
∴平面ABC₁∥平面PQE，
∵PQ?平面PQE，∴PQ∥平面ABC₁．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴AB⊥CC₁，BC⊥CC₁，
∵AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=$\sqrt{13}$，
∴AB=AA₁=CC₁=$\sqrt{13-9}$=2，AC=$\sqrt{A{{C}_{1}}^{2}-C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AC∩CC₁=C，∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．