Question

14．函数f（x）=（2^x-2）²+（2^-x+2）²-10在区间[1，2]上的最大值与最小值之积为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 求出f′（x）=2（2^x-2）•2^xln2-2（2^-x+2）•2^-xln2，由此利用导数性质能求出f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值之积．

解答 解：∵f（x）=（2^x-2）²+（2^-x+2）²-10
∴f′（x）=2（2^x-2）•2^xln2-2（2^-x+2）•2^-xln2，
由f′（x）=0，解得x=$lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$，
$f（lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}））$=（${2}^{lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）}$-2）²+（${2}^{-lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）}$+2）²-10
=（$\sqrt{2}-1$）²+（$\sqrt{2}+1$）²-10=-4，
f（1）=（2-2）²+（$\frac{1}{2}+2$）²-10=-$\frac{15}{4}$，
f（2）=（2²-2）²+（2^-2+2）²-10=-$\frac{15}{16}$，
∴f（x）=（2^x-2）²+（2^-x+2）²-10在区间[1，2]上的最大值为-$\frac{15}{16}$，最小值为-4，
∴f（x）=（2^x-2）²+（2^-x+2）²-10在区间[1，2]上的最大值与最小值之积为：$（-\frac{15}{16}）×（-4）$=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查函数在闭区间上的最大值与最小值之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．