Question

6．甲．乙、丙三人准备在2017年元旦去自驾游，有A、B两条线路可以选择，根据以往的经验，选择线路A，旅行中遇到堵车的概率是$\frac{2}{3}$，不堵车的概率是$\frac{1}{3}$，选择线路B，旅行中遇到堵车的概率是p，不堵车的概率是1-p，若甲、乙两人选择线路A，丙选择线路B．且三人在旅行中是否堵车互不影响．
（1）若三人中恰有一人遇到堵车的概率是$\frac{5}{18}$，求p的值；
（2）在（1）的条件下，求三人中遇到堵车的人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由三人中恰有一人遇到堵车的概率是$\frac{5}{18}$，得$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（1-p）$=$\frac{5}{18}$，由此能求出p．
（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵择线路A，旅行中遇到堵车的概率是$\frac{2}{3}$，不堵车的概率是$\frac{1}{3}$，
选择线路B，旅行中遇到堵车的概率是p，不堵车的概率是1-p，
甲、乙两人选择线路A，丙选择线路B．且三人在旅行中是否堵车互不影响．
三人中恰有一人遇到堵车的概率是$\frac{5}{18}$，
∴$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（1-p）$=$\frac{5}{18}$，
解得p=$\frac{1}{2}$．
（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（ξ=1）=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{18}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{18}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{4}{18}$

Eξ=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{4}{18}$=$\frac{33}{18}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用．