Question

6．已知函数f（x）=a^x的图象过点$（1，\;\frac{1}{2}）$，且点$（n-1，\;\frac{a_n}{n^2}）（n∈{N^*}）$在函数f（x）=a^x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{a_n}{n}$，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由代入法可得a，f（x）的解析式，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{a_n}{n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a^x的图象过点$（1，\;\frac{1}{2}）$，
∴$a=\frac{1}{2}，f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$…（2分）
又点$（n-1，\;\frac{a_n}{n^2}）（n∈{N^*}）$在函数f（x）=a^x的图象上，
从而$\frac{a_n}{n^2}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，即${a_n}=\frac{n^2}{{{2^{n-1}}}}$…（6分）
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{a_n}{n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
得${S_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$…（8分）
则$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，
两式相减得，$\frac{1}{2}{S_n}=（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{n}{2^n}$
∴${S_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}，n∈{N^+}$…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式和求和公式的求法，考查数列求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．