Question

18．在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从100件产品中任取2件的结果数为$C_{100}^2$，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，能求出至少取到1件次品的概率．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为从100件产品中任取2件的结果数为$C_{100}^2$，
从100件产品中任取2件其中恰有k件次品的结果数为$C_3^kC_{97}^{2-k}$，
所以从100件产品中任取2件，其中恰有k件次品的概率为$P（X=k）=\frac{{C_3^kC_{97}^{2-k}}}{{C_{100}^2}}，k=0，1，2$．
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{97}^{2}}{{C}_{100}^{2}}=\frac{776}{825}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{97}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{97}{1650}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{97}^{0}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{1}{1650}$，（4分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{776}{825}$	$\frac{97}{1650}$	$\frac{1}{1650}$

（8分）
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，
可得至少取到1件次品的概率为：
P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=$\frac{97}{1650}+\frac{1}{1650}=\frac{49}{825}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．