Question

10．已知x₁，x₂是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]内的两个零点，则sin（x₁+x₂）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得m=2sin2x₁+cos2x₁=2sin2x₂+cos2x₂，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．

解答 解：x₁，x₂是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]内的两个零点，
可得m=2sin2x₁+cos2x₁=2sin2x₂+cos2x₂，
即为2（sin2x₁-sin2x₂）=-cos2x₁+cos2x₂，
即有4cos（x₁+x₂）sin（x₁-x₂）=-2sin（x₂+x₁）sin（x₂-x₁），
由x₁≠x₂，可得sin（x₁-x₂）≠0，
可得sin（x₂+x₁）=2cos（x₁+x₂），
由sin²（x₂+x₁）+cos²（x₁+x₂）=1，
可得sin（x₂+x₁）=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由x₁+x₂∈[0，π]，
即有sin（x₂+x₁）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
另解：由对称性可知$\sqrt{5}$=2sin（x₂+x₁）+cos（x₁+x₂），
由sin²（x₂+x₁）+cos²（x₁+x₂）=1，
由x₁+x₂∈[0，π]，
即有sin（x₂+x₁）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．