Question

【题目】下列四个命题中，真命题的个数是 （　　）

①命题：“已知 ，“”是“”的充分不必要条件”；

②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；

③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；

④命题：若，则．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性；

命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；

命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可；

命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；

命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；

命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；

命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝ ，所以f（4）＝，所以命题③正确；

命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，

∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，

∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.

故选：C