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    【题目】如图，四棱锥的一个侧面为等边三角形，且平面平面，四边形是平行四边形，，，.

    （1）求证：；

    （2）求二面角的余弦值.

    【答案】（1）详见解析（2）

    【解析】

    （1）由面面垂直的性质可得平面，即可证得（2）作于点，过点作于点，连接，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面法向量，利用向量夹角即可求出.

    （1）证明：在中，，，，

    ∴.

    又平面平面，

    平面平面，

    ∴平面，∴.

    （2）如图，作于点，

    则平面，

    过点作于点，连接，

    以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

    则，，，，

    ，，

    由（1）知平面的一个法向量为，

    设平面的法向量为，

    则，即，

    取，

    设平面与平面所成二面角的平面角为，

    则.

    所以二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】

    对函数Φ（x），定义fk（x）＝Φ（x－mk）＋nk（其中x∈（mk，m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．

    （1）当Φ（x）＝2x时 ①求f0（x）和fk（x）的解析式； ②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；

    （2）若Φ（x）＝x2，则是否存在正整数k，使得不等式fk（x）＜（1－3k）x＋4k2＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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    【题目】已知点是菱形所在平面外一点，，，

    （1）求证：平面平面；

    （2）求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.

    （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：

    对教师管理水平好评

    对教师管理水平不满意

    合计

    对教师教学水平好评

    对教师教学水平不满意

    合计

    请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？

    （2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.

    ①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；

    ②求的数学期望和方差.

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （，其中）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，（）.

    （Ⅰ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

    （Ⅱ）设，若，若函数对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，

    (1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函效:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；

    (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对相关系数r来说，下列说法正确的是（　　）.

    A.，越接近0，相关程度越大；越接近1，相关程度越小

    B.，越接近1，相关程度越大；越大，相关程度越小

    C.，越接近1，相关程度越大；越接近0，相关程度越小

    D.，越接近1，相关程度越小；越大，相关程度越大

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2019年高考刚过，为了解考生对全国2卷数学试卷难度的评价，随机抽取了某学校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：

    非常困难

    一般

    男考生

    20

    30

    女考生

    40

    10

    （1）分别估计该学校男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率；

    （2）从该学校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率.

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