【题目】学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的,对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的
,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
(1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表:
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | |||
对教师教学水平不满意 | |||
合计 |
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关?
(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列(概率用组合数算式表示);
②求的数学期望和方差.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其中
)
【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②,
【解析】分析:(1)由题意得到列联表,根据列联表求得的值后,再根据临界值表可得结论.(2)①由条件得到
的所有可能取值,再求出每个取值对应的概率,由此可得分布列.②由于
,结合公式可得期望和方差.
详解:(1)由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表:
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | 120 | 60 | 180 |
对教师教学水平不满意 | 105 | 15 | 120 |
合计 | 225 | 75 | 300 |
由表中数据可得
,
所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.
(2)①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为,且
的取值可以是0,1,2,3,4,
其中;
;
;
;
,
所以的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
②由于,
则,
.
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【题目】已知F1 , F2分别是长轴长为 的椭圆C:
的左右焦点,A1 , A2是椭圆C的左右顶点,P为椭圆上异于A1 , A2的一个动点,O为坐标原点,点M为线段PA2的中点,且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C(2,2,0)交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与B(2,0,0)轴交于点N,点N横坐标的取值范围是 ,求线段AB长的取值范围.
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【题目】已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2 , l1⊥l2 , 线段AF的垂直平分线与l2交于点P.
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求 的取值范围.
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【题目】某商场经销某商品,顾客可以采用一次性付款或分期付款购买,根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是,经销
件该产品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润
元;若顾客采用分期付款,商场获得利润
元.
(Ⅰ)求位购买商品的顾客中至少有
位采用一次性付款的概率.
(Ⅱ)若位顾客每人购买
件该商品,求商场获得利润不超过
元的概率.
(Ⅲ)若位顾客每人购买
件该商品,设商场获得的利润为随机变量
,求
的分布列和数学期望.
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【题目】某小区内有两条互相垂直的道路与
,分别以
、
所在直线为
轴、
轴建立如图所示的平面直角坐标系
,其第一象限有一块空地
,其边界
是函数
的图象,前一段曲线
是函数
图象的一部分,后一段
是一条线段.测得
到
的距离为
米,到
的距离为
米,
长为
米.现要在此地建一个社区活动中心,平面图为梯形
(其中点
在曲线
上,点
在线段
上,且
、
为两底边).
(1)求函数的解析式;
(2)当梯形的高为多少米时,该社区活动中心的占地面积最大,并求出最大面积.
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【题目】已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心
位于
轴正半轴上,与直线
相切且被轴
截得的弦长为
,圆
的面积小于13.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与圆
交于不同的两点
,以
为邻边作平行四边形
.是否存在这样的直线
,使得直线
与
恰好平行?如果存在,求出
的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】在锐角中,已知
,
,若点
是线段
上一点(不含端点),过
作
于
,
于
.
(1)若外接圆的直径长为
,求
的值;
(2)求的最小值
(3)问点在何处时,
的面积最大?最大值为多少?
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【题目】已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)直线l与曲线C交于B,D两点,当|BD|取到最小值时,求a的值.
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