Question

18．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈\{0，4\}}\\{{x}^{2}-2x+3，0＜x≤2}\\{|x-3|，2＜x＜4}\end{array}\right.$，若f（x）=kx有三个不同的根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$）∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{4}$）∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• C． [0，$\frac{1}{4}$]∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 作出f（x）与y=kx的函数图象，根据交点个数判断k的范围．

解答 解：作出f（x）与y=kx的函数图象如图所示：

若直线y=kx过（4，1），则k=$\frac{1}{4}$，
若直线y=kx过（2，3），则k=$\frac{3}{2}$，
若直线y=kx与y=x²-2x+3相切，设切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+3}\\{2{x}_{0}-2=k}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{3}$，y₀=6-2$\sqrt{3}$，k=2$\sqrt{3}$-2，
∴当0≤k＜$\frac{1}{4}$或2$\sqrt{3}-2$＜k≤$\frac{3}{2}$时，直线y=kx与f（x）的图象有3个交点，
故选B．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．