Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a-b=bcosC．
（1）求证：sinC=tanB；
（2）若a=1，b=2，求c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可知a-b=bcosC，则sinA-sinB=sinBcosC，由A=π-（B+C），根据诱导公式及两角和的正弦公式，即可求得sinC=tanB；
（2）由题意求得$cosC=-\frac{1}{2}$，利用余弦定理即可求得c的值．

解答 解：（1）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由a-b=bcosC，则sinA-sinB=sinBcosC，
由A=π-（B+C），则sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
即sin（B+C）=sinB+sinBcosC，sinBcosC+cosBsinC=sinB+sinBcosC，
sinCcosB=sinB，tanB=$\frac{sinB}{cosB}$，
∴sinC=tanB．
（Ⅱ）由a-b=bcosC，且a=1，b=2，得$cosC=-\frac{1}{2}$，
由余弦定理，${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC=1+4-2×1×2×（{-\frac{1}{2}}）=7$，
∴$c=\sqrt{7}$，
c的值为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．